By Claus Scheiderer

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KORPERTHEORIE I: ENDLICHE KORPERERWEITERUNGEN 40 F0 ein Teilk¨ orper von F wegen F0 = n α ∈ F : αp = α = α ∈ F : ϕn (α) = α = Fix(ϕn ), wobei ϕ : F → F , ϕ(α) = αp der Frobenius ist. Somit folgt F0 = F , also |F | = q. 3 Theorem. Zu jeder Primzahlpotenz q = pn gibt es bis auf Isomorphie genau einen K¨ orper F mit |F | = q, n¨ amlich F = Zfk xq − x/Fp . F¨ ur jedes α ∈ F q gilt α = α. 4 Bemerkungen. 1. Mit Fq bezeichnet man generell einen K¨orper mit q Elementen. 2. Vorsicht: Es ist zwar Fp = Z/(p).

10 Korollar. h. ein Teilk¨ orper, welcher keine echte quadratische Erweiterung hat. 11 Theorem. (Descartes5) Sei K0 := Q(P) der von P erzeugte Teilk¨ orper von C. Eine komplexe Zahl α liegt genau dann in Ω, wenn es n ∈ N und eine Kette K0 ⊆ K1 ⊆ · · · ⊆ Kn ⊆ C von Teilk¨ orpern von C gibt mit α ∈ Kn und mit [Kj : Kj−1 ] = 2 f¨ ur j = 1, . . , n. Es entsteht also Ω aus K0 durch sukzessive (transfinite) Adjunktion von Quadratwurzeln (so lange, bis der K¨orper alle Quadratwurzeln enth¨alt). Man nennt Ω deshalb den quadratischen Abschluß von K0 .

15 Beispiel. Eine Konstruktion des regelm¨aßigen F¨ unfecks geht wie folgt. Sei N = 1 und M = 2i , und sei P ein Schnittpunkt von KM (0) mit der Gerade G(M, N ). Die Schnittpunkte Z = ζ und Z = ζ von KN (P ) mit dem Einheitskreis K0 (N ) sind primitive zehnte Einheitswurzeln (Beweis siehe Aufgabe 28). Die Strecke [Z, Z ] ist also die Seite eines dem Einheitskreis einbeschriebenen regelm¨ aßigen F¨ unfecks. KAPITEL 3 Gruppentheorie 1. Grundbegriffe Die wichtigsten Grundbegriffe der Gruppentheorie wurden schon in der B1 behandelt.

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Algebra [Lecture notes] by Claus Scheiderer


by Ronald
4.0

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