By Christian Tapp

ISBN-10: 364229653X

ISBN-13: 9783642296536

ISBN-10: 3642296548

ISBN-13: 9783642296543

​David Hilbert entwickelte mit seiner Beweistheorie ein Programm zur Grundlegung der Mathematik. Setzt er dazu eine formalistische Philosophie der Mathematik voraus? Die überraschende Antwort des ersten Teils dieses Buches ist ein differenziertes Nein. Hilberts place schließt logizistische und intuitionistische Momente ein – und sicher keinen Spielformalismus. Der zweite Teil des Buches macht die Fülle der Ideen sichtbar, die Hilbert und seine Schüler im Rahmen der formallogischen Durchführung und Weiterentwicklung des Programms entwickelt haben, um die Widerspruchsfreiheit mathematischer Axiomensysteme mit mathematischen Mitteln zu zeigen. Der dritte Teil widmet sich recht anspruchsvollen philosophischen „Überhangfragen“: Ist das Programm nicht letztlich zirkulär? Ist es nicht mit den Gödelsätzen zum Scheitern verurteilt? Und wie können in einem finitistischen Rahmen transfinite Ordinalzahlen auftreten? Hilbert hat der Philosophie ein spannendes und herausforderndes Aufgabenfeld hinterlassen.​

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Formal Languages in Logic: A Philosophical and Cognitive - download pdf or read online

Formal languages are generally considered as being especially mathematical gadgets and as generating a better point of precision and technical complexity in logical investigations due to this. but defining formal languages solely during this approach deals just a partial and restricted clarification of the impression which their use (and the makes use of of formalisms extra often in different places) really has.

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Hilberts Auseinandersetzungen mit Frege lassen hervortreten, was das konzeptionell Neue an Hilberts Verständnis von Axiomatik ist. Eine Diskussion von Kriterien für Axiome hebt dann besonders auf den zentralen Begriff der Widerspruchsfreiheit ab (Kap. 3). In der klassischen Trias mathematikphilosophischer Positionen – „Logizismus, Intuitionismus, Formalismus“ – gilt der Formalismus gemeinhin als die Position Hilberts. Da man mit von Neumann festhalten muß, daß es für das Verständnis der Hilbertschen Position unerläßlich ist, die beiden anderen Positionen zu kennen, werden zunächst Logizismus und Intuitionismus als Kontext des HP behandelt (Kap.

Den philosophischen Absichten dieses Buches gemäß geht es vor allem um den Aufriß des ideengeschichtlichen Kontextes, in dem das Hilbertprogramm entstanden ist. Wissenschaftsexterne Faktoren, die wie immer die faktische Entstehung auch dieses Programms beeinflußt haben, werden dementsprechend kaum eine Rolle spielen. Es geht darum, ein inhaltliches Verständnis des HP zu gewinnen, das in gewissen Grenzen beanspruchen kann, historisch adäquat zu sein, ohne zu seiner Gewinnung die Abklärung sämtlicher historischer Details zu beanspruchen.

Hilbert/Bernays, Grundlagen I [1934], V Das Erkennen der Widerspruchsfreiheit sollte die Grundlagen der Mathematik absichern. Das Typische an Hilberts Vorgehen ist nun, daß diese Sicherung selbst mit mathematischen Methoden erfolgen soll. Durch Methoden, die selbst die Unbezweifelbarkeit mathematischer Resultate besitzen, sollte die Unbezweifelbarkeit mathematischer Resultate wiederhergestellt werden. Dies klingt auf den ersten Blick zirkulär, und dieser Eindruck ist auch nicht vollkommen falsch, denn die Idee, die Mathematik mit mathematischen Methoden zu untersuchen und sie sich so selbst zum Objekt zu machen, beinhaltet ja zumindest ein „reflexives Moment“.

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An den Grenzen des Endlichen: Das Hilbertprogramm im Kontext von Formalismus und Finitismus by Christian Tapp


by George
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